Kontinuierliche und diskrete Differenzialformen als Ausgangspunkt für numerische Methoden in der Elektrodynamik

Abstract. Die Grundgleichungen der Elektrodynamik werden häufig in integraler Form aufgestellt. Die Umwandlung in partielle Differenzialgleichungen geschieht dann durch Anwendung der Integralsätze von Gauss und Stokes. Beide Integralsätze besitzen eine große formale Ähnlichkeit. Formuliert man die Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe von Differenzialformen, wird diese zunächst formale Analogie verständlich, als Konsequenz eines abstrakteren Konzeptes. Neben der damit einhergehenden übersichtlichen und eleganten Darstellung der Elektrodynamik erhält man einen gut geeigneten Ausgangspunkt für numerische Methoden. Differenzialformen besitzen natürliche Entsprechungen im Diskreten, die diskreten Differenzialformen. Das hieraus in niedrigster Ordnung resultierende Diskretisierungsschema entspricht der Allokation von Freiheitsgraden auf zueinander dualen Gittersystemen, wie sie von der FIT (= Finite Integration Technique) bekannt ist. Größere Freiheiten hat man bei der Diskretisierung der Materialbeziehungen, die auf diskrete Hodge-Operatoren führt. Je nach verwendetem Ansatz (orthogonale oder baryzentrische duale Gitter) erhält man unterschiedliche numerische Verfahren. Kontinuierliche und diskrete Differenzialformen können deshalb als allgemeiner Ausgangspunkt für numerische Methoden in der Elektrodynamik betrachtet werden.

The fundamental laws of electrodynamics are often stated in integral form. The conversion to partial differential equations is conveyed by application of the integral theorems of Gauss and Stokes. Both theorems bear a strong formal resemblance. If Maxwell’s equations are reformulated in terms of differential forms this seemingly formal analogy will become obvious, as a consequence of a more abstract underlying concept. Besides the accompanying concise and elegant formulation of electrodynamics a useful starting point for numerical methods is obtained. Differential forms possess natural correspondents in the discrete setting, the so called discrete differential forms. The resulting discretization scheme of lowest order corresponds to the allocation of degerees of freedom on dual grid pairs, which is well known from the FIT (= Finite Integration Technique). There is more freedom when the constitutive equations are to be discretized, which yields discrete Hodge operators. Depending on the employed technique (orthogonal or barycentric dual grids) one ends up with different numerical schemes. Continuous and discrete differential forms can therefore be regarded as a general starting point for numerical methods in electrodynamics.